${\log }_{(11x-x^2)}\left(28\right)=1$ এর সমাধান কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(\log_{(11x - x^2)}(28) = 1\)

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি \(\log_b a = c\) হয়, তাহলে \(b^c = a\) হবে।

এখানে, ভিত্তি (base) \(b = 11x - x^2\), আর্গুমেন্ট (argument) \(a = 28\) এবং সূচক (exponent) \(c = 1\)।

সুতরাং, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি:

\((11x - x^2)^1 = 28\)

\(11x - x^2 = 28\)

এই সমীকরণটিকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করি:

\(x^2 - 11x + 28 = 0\)

এখন, এই দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করি। মধ্যপদ বিশ্লেষণ (middle term factorization) পদ্ধতির মাধ্যমে:

\(x^2 - 4x - 7x + 28 = 0\)

\(x(x - 4) - 7(x - 4) = 0\)

\((x - 4)(x - 7) = 0\)

সুতরাং, দুটি সম্ভাব্য সমাধান হলো:

\(x - 4 = 0 \implies x = 4\)

অথবা

\(x - 7 = 0 \implies x = 7\)

লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য কিছু শর্ত পূরণ করতে হয়:

1. ভিত্তি (base) শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে: \(b > 0\)
2. ভিত্তি (base) 1 এর সমান হতে পারবে না: \(b \neq 1\)
3. আর্গুমেন্ট (argument) শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে: \(a > 0\)

আমাদের সমীকরণে আর্গুমেন্ট \(28\) যা \(> 0\)। এখন ভিত্তির শর্তগুলো পরীক্ষা করি:

ভিত্তি হলো: \(11x - x^2\)

প্রথম শর্তটি পরীক্ষা করি: \(11x - x^2 > 0\)

\(x(11 - x) > 0\)

এটি সত্য হবে যখন \(0 < x < 11\)।

দ্বিতীয় শর্তটি পরীক্ষা করি: \(11x - x^2 \neq 1\)

\(x^2 - 11x + 1 \neq 0\)

এখন, আমরা প্রাপ্ত সমাধানগুলো (\(x=4\) এবং \(x=7\)) পরীক্ষা করি:

যখন \(x = 4\):

ভিত্তি = \(11(4) - (4)^2 = 44 - 16 = 28\)

এখানে, \(28 > 0\) এবং \(28 \neq 1\), যা উভয় শর্তই পূরণ করে। সুতরাং \(x = 4\) একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান।

যখন \(x = 7\):

ভিত্তি = \(11(7) - (7)^2 = 77 - 49 = 28\)

এখানে, \(28 > 0\) এবং \(28 \neq 1\), যা উভয় শর্তই পূরণ করে। সুতরাং \(x = 7\) একটি গ্রহণযোগ্য সমাধান।

উভয় সমাধানই লগারিদমের শর্ত পূরণ করে।

অতএব, সমীকরণটির সমাধান হলো \(x = 4\) অথবা \(x = 7\)।